3.-Subespacios Vectoriales

Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones.

Consideremos el espacio vectorial (R²,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo
(0,1), (0,3), (0,4),....
Es claro que si tomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R² bastaría comprobar dos propiedades:
        1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.
        2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula.
El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W.    Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera componente es 1, es decir 
 
y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en este subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial. 
 
CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES.
    1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades:
                                a) 
                                b) 
una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a la anterio
    2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

Bibliografia:

https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/teoria-1-3/1-3-subespacios.html