Física l: 3.- Espacios Vectoriales Euclidianos.

Un espacio euclídeo de dimensión finita es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalarordinario. Para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional se representa por el símbolo

\mathbb{R}^n

y es el conjunto de todas las tuplas ordenadas

$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

en donde cada

x_i

es un número real, junto con la función distancia entre dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ..., y_n) definida por la fórmula:

$d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$

Esta función distancia es una generalización del teorema de Pitágoras y se denomina distancia euclidiana. El hecho de que se haya definido una distancia permite definir otros conceptos métricos como el de medida de Lebesgue (lo cual permite a su vez definir la longitud de una curva (1-volumen), las nociones de área (2-volumen), volumen (3-volumen) y cuando el espacio tiene dimensión superior a 3 n-volumen (para n > 3).

Además pueden definirse ángulos, al poder hablar de proyectar una longitud recta sobre la dirección de otra longitud recta no paralela, así el ángulo entre dos rectas r₁ y r₂cuyos vectores unitarios tangentes son