Vectores y Álgebra Vectorial.

Espacios Vectoriales:

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.

Sub cuerpo:

Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Combinación Lineal:

Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.

Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:

V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.

Envolvente Lineal:

Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.

Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

Conjuntos Generadores:

Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinación lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es un conjunto generador de un espacio vectorial..

En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen escalares c tal que:

V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ..., u3 .

Espacio fila y Espacio Columna de una Matriz:

Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden ser vistas como vectores de Kn llamado espacio fila de U denotado por f - Lin A.

Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas las hacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio columna de A denotado c-Lin A.

Si hacemos operaciones elementales entre fila a A y obtenemos una matriz B podemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada fila de A por lo que el espacio fila de B esta contenido al espacio fila de A y así viceversa, o sea, si efectuamos operaciones entre fila a B obtenemos A y esto seria convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas y propiedades:

Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo espacio fila.

Dos matrices en forma canónica por fila tienen el mismo espacio fila si estos tienen las mismas filas no nulas.

Toda matriz es equivalente por fila a una matriz única en forma canónica por filas.

Conjuntos Generadores e Independencia Lineal:

Si todo vector puede expresarse como combinación lineal de vectores en un conjunto S entonces el conjunto S es un conjunto de un espacio vectorial.

Dependencia e Independencia Lineal:

Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solución no trivial esto quiere decir que la combinación lineal denotado así: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 , ósea que tiene una solución única.

Para comprobar la independencia Lineal.

Sea S = {v1, v2, ..., vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de la ecuación vectorial c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (que es la misma que combinación lineal don de c son escalares) se escribe un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en variable c1, c2, ..., ck . después se hace Gauss-Jordán a la matriz aumentada para diagonal izarla si la solución de la diagonalizacion tiene solamente solución trivial c1, c2, c3 entonces S es linealmente independiente.

Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno de los vectores vj puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores S.

Base y Dimension:

En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene mas de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensión de esa base y se denota dim(V) = n.

Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el numero de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.

Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de V

Rango de una matriz y sistema de ecuaciones lineales:

Sea una matriz Am x n = entonces sus n-adas corresponden a las

Filas de la matriz, ejemplo: (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1,am2, ..., amn) estas series son los vectores fila de A y los vectores columnas de A corresponden a las columnas de la matriz ejemplo: (a11, a21, ..., am1), (a12, a22, ..., am2), ..., (a1n, a2n, ..., amn).

El espacio fila y el espacio columna son sub-espacios de Rn generado por los vectores fila y espacio columna de A.

Veremos a continuación que los espacios fila y espacio columna comparten muchas propiedades veremos primero el espacio fila, considerando que dos matrices son equivalentes por fila si la segunda matriz se obtiene por operaciones elementales entre fila esta tienen el mismo espacio fila, también hay que considerar que la matriz no se modifica sus columnas por las operaciones elementales entre filas, pero si pueden modificar sus filas.

Si la matriz equivalente B esta en forma escalonada entonces esta constituye un conjunto independiente.

Y la base para el espacio fila de una matriz: si la matriz A es igual en fila a la matriz B entonces en esta ultima los vectores fila B son diferentes de cero esta forma una base para el espacio fila.

Si A es una matriz m x n entonces el espacio renglón y el espacio columna son iguales.

Para poder resolver la ecuación lineal utilizaremos la notación matricial Ax = B que se utiliza para representar ecuaciones lineales.

=

la solución de éste sistema nos permite ver el conjunto solución, esta solución se escribe como n-adas y se denomina: vectores solución para un sistema homogéneo se utiliza la notación matricial Ax = 0 es un espacio Rn esta solución se denomina espacio solución del sistema también se llama espacio nulo de a. La dimensión de este sistema se denomina nulidad de A.

Para la dimensión de un sistema homogéneo (Ax = 0) en una matriz A m x n y su rango r entonces la dimensión seria n-r (nulidad - rango) = n.

Un sistema homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = B donde B " 0 este no es sub-espacio ya que el vector cero no es solucion.

Si Xp es una solución particular del sistema homogéneo entonces todo el sistema se expresa como X = Xp + Xn donde Xh seria la solución del sistema homogéneo Ax = 0.

Para ver el numero de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuenta tres reglas:

Si rango (A) = rango [A | B] = n entonces el sistema tiene solución única esto quiere decir si el rango de la solución de la matriz A es igual al del rango de la matriz aumentada en B es igual a n entonces tiene una única solución.

Si el rango (A) = rango [A | B]<n tiene esta soluciones infinitas.

Si el rango (A) = rango [A | B] entonces el sistema no tiene soluciones.

Para las ecuaciones lineales con matrices cuadradas: Si A es una matriz n x n cumple las siguientes condiciones:

A es invertible.

Ax = b si tiene una solución única para la matriz bn x 1.

Ax = 0 tiene solución trivial.

A es equivalente por renglones a 1n.

El determinante de A (|A|) " 0.

Rango (A) = n

Los n vectores fila de A son linealmente independientes.

Los n vectores columna de A son linealmente independientes.

Coordenadas y cambio de base:

Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V que representándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendo los escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rn denotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ).

Cambio de base.

Partiendo de una base B a una base B' se tiene que hacer una multiplicación por una matriz p-1 y esta la obtenemos sacando la inversa de la base B esto seria P-1 y multiplicando P-1 por B obtenemos B' y viserversa.

Bibliografía:

http://www.ib.edu.ar/index.php/fisica-y-sus-aplicaciones.html